A rigorosa lógica kafkiana de Gödel

Incompletude, de Rebecca Goldstein, faz justiça à importância do pesquisador e merece leitura atenta

Newton C. A. da Costa, O Estadao de S.Paulo

28 de fevereiro de 2009 | 00h00

Provavelmente nenhum resultado matemático do século passado provocou tantas discussões despropositadas e até ridículas como os teoremas de incompletude de Gödel, que datam de 1930. Há autores, por exemplo, que sustentam ter Gödel mostrado que existem verdades matemáticas absolutamente indemonstráveis e outros afirmando decorrer de tais teoremas que o homem jamais será suplantado pela máquina. Talvez o único outro resultado científico de nosso tempo, desta vez em física, que originou disparates do mesmo nível seja o princípio de indeterminação de Heisenberg.Rebecca Goldstein escreveu seu livro Incompletude: A Prova e o Paradoxo de Kurt Gödel (tradução de Ivo Korytowski, Companhia das Letras, 2008, 240 págs., R$ 42) com dupla finalidade: expor, em traços gerais, a vida de Gödel e fazer um apanhado elementar, acessível ao neófito, dos dois célebres teoremas de incompletude. Ela obteve o doutorado em Filosofia em Princeton em 1977 e, posteriormente, tornou-se novelista de renome nos Estados Unidos; teve boa formação em lógica matemática e participou de uma reunião informal na qual Gödel estava presente, dando-lhe a impressão de ser uma pessoa singular, muito excêntrica.Boa parte do livro é dedicada à vida de Gödel (1906-1978), com ênfase na sua amizade com Albert Einstein (1879-1955), quando ambos pertenciam ao Instituto de Estudos Avançados de Princeton. As relações entre os dois cientistas é muito bem narrada, suas personalidades profundamente distintas merecem cuidadosa análise e a infância, juventude e atividades de Gödel como estudante encontram-se perfeitamente delineadas. Suas relações com os componentes do Círculo de Viena são ressaltadas, bem como vários pontos da carreira do genial lógico. Por exemplo, discute-se a inter-relação entre Hans Hahn, orientador de doutorado de Gödel, e seu discípulo, deixando claro que o primeiro pouco interveio na tese de doutorado do segundo, que tratava da completude de determinada parte da lógica clássica (e que continha resultados fundamentais para a lógica). No entanto, Goldstein assevera numerosas inverdades históricas, tais como a de que Gödel era platônico desde os 20 anos, mais ou menos, e que esse era o motivo principal que o afastou do Círculo de Viena, composto por pensadores positivistas com M. Schlick, R. Carnap e O. Neurath. Naquela época a discordância nada tinha a ver com platonismo (a doutrina segundo a qual os objetos matemáticos existem em si e por si, independentemente do matemático, que os estuda mas não os cria). Por outro lado, ela dá a entender que havia uma espécie de incompatibilidade e de ressentimento entre Gödel e L. Wittgenstein; ora, isto não é verdade, pelo menos da parte de Gödel, embora Wittgenstein sempre houvesse achado que os teoremas de incompletude eram apenas jogos sem maior relevância, algo sobre o qual Wittgenstein estava enganado.A evolução dos problemas mentais de Gödel é tratada com certo detalhe pela autora. Lembra que o grande lógico morreu em posição fetal, de inanição; não comia por estar certo de que queriam envenená-lo... Este fim melancólico foi o remate do progresso lento, embora constante, de uma psicose. Rebecca Goldstein escreveu uma história que comove o leitor.Quanto aos teoremas de incompletude, convém esboçá-los com um pouco de cuidado. As teorias matemáticas podem ser axiomatizadas, isto é, escolhem-se determinadas proposições básicas das mesmas e, após, passa-se a desenvolvê-las via a lógica. Em seguida, nada impede que se reformule qualquer teoria T, devidamente axiomatizada, como se fosse um jogo simbólico, englobando a lógica subjacente a T. A teoria, assim, fica formalizada, converte-se em um formalismo.A teoria formalizada T, então, diz-se consistente se não encerra teoremas simbólicos um dos quais é a negação do outro; em caso contrário, diz-se inconsistente. T é completa se, para cada sentença formal, simbólica, ou a sentença ou sua negação é teorema de T (as sentença simbólicas de T expressam os enunciados de T que, intuitivamente, devem ser ou verdadeiros ou falsos). Um dos objetivos colimados por muitos matemáticos, por volta dos anos 20 e 30 do século passado, era o de se demonstrar a consistência das várias teorias matemáticas, bem como, em casos adequados, a completude das mesmas. Uma asserção que afirme que dada teoria é completa denomina-se um teorema de completude e uma proposição que assevere que certa teoria não é completa chama-se um teorema de incompletude.O estudo das teorias matemáticas formalizadas foi batizado, por D. Hilbert, de metamatemática. Esta nova ciência tinha por finalidade provar a consistência e, nas situações adequadas, a completude das mesmas, recorrendo-se a métodos simples e intuitivos, indiscutíveis. A metamatemática, para Hilbert, visava a salvar a matemática de paradoxos que surgiram sobretudo por volta de 1900, que pareciam minar a verdade da matemática.A relevância de uma demonstração de consistência é clara: reside no fato de que uma teoria inconsistente infringe a lei de não contradição e, pior, se há inconsistência, a lógica clássica acarreta que a teoria é trivial, pois quaisquer fórmulas de sua linguagem são teoremas. Por seu turno, a importância da completude também é patente: se uma teoria almeja descrever tudo que o é verdadeiro em um domínio, então deve ser completa; pois, pelo princípio do terceiro excluído, qualquer proposição ou sua negação é verdadeira.Cerca de 1930, Gödel, em lance genial, mostrou que qualquer teoria formalizada T, pode ser "aritmetizada": o jogo simbólico em que T se converteu se traduz dentro da aritmética elementar. Os símbolos são substituídos por números naturais e noções como teorema, demonstração, etc. transformam-se em conceitos aritméticos. De certo modo, toda a matemática vira aritmética; a consistência de uma teoria se exprime por uma fórmula aritmética. Por meio da aritmetização é que Gödel demonstra seus teoremas de incompletude, que no fundo não passam de teoremas da aritmética elementar.Ora, o primeiro teorema de incompletude assevera que uma teoria matemática formalizada, contendo a aritmética elementar, se for consistente, não pode ser completa. O segundo, derivado do primeiro, diz que a fórmula aritmética que Gödel usou para expressar a consistência de uma teoria, contendo a aritmética, não é demonstrável na mesma, caso a teoria seja consistente.Os teoremas de incompletude abriram novos horizontes nos fundamentos da matemática e os métodos utilizados em suas demonstrações originaram disciplinas lógico-matemáticas com repercussão não apenas teórica, mas também em informática.Uma das consequências do segundo teorema é a de que teorias matemáticas fortes (contendo a aritmética) não têm condições, em certo sentido, de garantir sua própria consistência. Unicamente uma teoria mais forte pode assegurar a consistência de outras. É óbvio que isso é significativo para a filosofia da matemática. Analogamente, o primeiro teorema é expressivo, pois deixa patente que teorias matemáticas relevantes são incompletas.Todavia, Rebecca Goldstein tece considerações questionáveis sobre eles, escrevendo, por exemplo, que os teoremas de incompletude constituem "os teoremas mais prolixos da história da matemática" e se vinculam ao problema central de se saber o que é o humano... Também dá a entender que os teoremas compõem uma prova do platonismo em matemática.Note-se, no entanto, que os teoremas de incompletude pressupõem que os formalismos utilizados em metamatemática são "construtivos", satisfazem determinadas restrições sobre as quais não falaremos aqui. Porém, há formalismos muito mais gerais que se encontram fora do escopo dos teoremas em apreço (por exemplo, formalismos com regras de inferência com infinitas premissas).A contribuição de Gödel para a lógica e a matemática não se restringem aos teoremas de incompletude. Ele obteve resultados básicos em outras áreas, tais como a teoria de conjuntos, a lógica intuicionista e a geometria projetiva. Demonstrou, também, a consistência da aritmética por meios não expressáveis na mesma, embora a demonstração seja tão evidente e clara como as demonstrações comuns da aritmética elementar (o que não contradiz o segundo teorema, porquanto os métodos utilizados são diferentes). Gödel também provou a existência de um universo, na cosmologia relativista, que permite, em princípio, viagens no tempo.Gödel foi, sem dúvida, o maior lógico desde Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), considerado o criador dessa disciplina. Foi, ademais, um dos grandes matemáticos de todos os tempos. O livro de Rebecca Goldstein faz justiça a Gödel como lógico e abala o leitor ao descrever seus problemas emocionais. Parece uma obra de ficção... Não obstante os reparos acima, o livro merece leitura atenta (em futuras edições, certamente será corrigido). Newton C. A. da Costa, professor aposentado da USP e professor visitante da UFSC, é autor, entre outros, de Lógica Indutiva e Probabilidade

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