A Esfera de Riemann

A Esfera de Riemann

A esfera de Riemann nos fornece um caminho para provar o Teorema Fundamental da (temida) Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui soluções complexas.

Estado da Arte

11 Maio 2017 | 14h55

Por Felipe Pait

Aprende-se no curso científico que os números complexos podem ser visualizados no plano de Argand-Gauss: parte real nas abcissas, imaginária nas ordenadas. Imagine que o plano é feito de material elástico, que podemos dobrar e esticar para formar uma bola, e inflar como uma bexiga. Agora temos uma esfera, que corresponde ponto a ponto ao nosso plano complexo. Quando identificamos o nó na extremidade do balão – o Pólo Norte da nossa bola – com os pontos no infinito do plano, resulta uma representação geométrica até mais interessante para os números complexos: a esfera de Riemann.


Individualmente e todos juntos, os pontos no infinito são o antípoda, ou inverso, do zero, que pela nossa convenção fica no Pólo Sul. Contendo os números complexos com a adição do infinito, a esfera permite a representação de operações que de outra forma não fariam sentido, como a divisão por zero. Essa relação entre o plano e a esfera é a projeção estereográfica, já conhecida de Ptolemeu, que não é muito usada em cartografia porque amplia demasiadamente as áreas no pólo oposto.

A projeção estereográfica

A esfera de Riemann nos fornece um caminho para provar o Teorema Fundamental da (temida) Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui soluções complexas. Solução de uma equação polinomial é o número complexo que faz o polinômio assumir o valor zero, tornando a equação é verdadeira. Por exemplo, a conhecida equação de segundo grau pode ter um par de soluções complexas, duas soluções reais diferentes, ou apenas uma solução real, duplicada. São sempre duas – a grande vantagem de trabalharmos com números reais e imaginários.

Cada polinômio é uma função, que associa a um número complexo – ou seja, a um ponto na esfera – um outro número complexo, o valor do polinômio. Visualizamos o valor do polinômio calculado para aquele número complexo também como um ponto na esfera, ou seja, o polinômio é uma função que a partir de pontos da esfera fornece outros pontos da própria esfera.

Lembremos que quando um número complexo dá uma volta completa em torno do ponto zero, seu ângulo varia entre 0 e 360 graus; o ângulo do quadrado do número complexo gira duas vezes mais rápido e varia entre 0 e 720, o ângulo do seu cubo entre 0 e 1080, e assim por diante. Quando o número complexo passa por todos os pontos do plano, ou equivalentemente dá um passeio completo pela esfera, o valor do polinômio revolve em torno da esfera tantas vezes quanto for o maior expoente do polinômio. Matematicamente se diz que o polinômio é homotópico, ou continuamente deformável, ao polinômio que consiste simplesmente na variável elevada à enésima potência.

Se o valor do polinômio recobre de forma completa a esfera, a equação que iguala o polinômio a zero precisa ser satisfeita para algum número complexo durante esse passeio, provando o teorema fundamental. É possível construir uma demonstração rigorosa completando os detalhes desse argumento com toda a formalidade necessária, ou então demonstrar o teorema usando argumentos muito diferentes.

*       *       *

Também em outros domínios do conhecimento a intuição geométrica da esfera pode ser útil. Desde a revolução francesa é habitual geometrizar a política como uma reta, enfileirando partidos e ideias da direita para a esquerda, de acordo com o tema das discussões mais acaloradas do momento. Corrupção, inflação, monopólio, comércio, ouro e prata, são temas de direita ou de esquerda? Varia com o momento. O analista apegado à representação linear da política pode se confundir quando os temas mudam, os grupos de interesse se reagrupam, e os partidos trocam de bandeiras com seus inimigos figadais. De uma forma mais permanente podemos talvez pensar que são duas as variáveis que definem a posição no mapa político: a preocupação com a injustiça, e a forma de evitá-la.

As formas de injustiça que incomodam qualquer indivíduo de bons valores são as seguintes. Uma é quando pessoas de bem não recebem na vida as recompensas e oportunidades a que fazem jus – seja por azares de nascimento, por acasos da saúde e da doença, ou pela má ação de seus semelhantes. A outra é a injustiça a favor de quem obtém ganhos imerecidos, aproveitando-se da fraqueza do próximo e das instituições. Ambas as injustiças têm efeito insalubre na sociedade; motivam preocupações igualmente válidas, embora distintas.

A preocupação com os desafortunados inocentes é a ética “de esquerda”, de quem se alista no combate à fome das crianças. Já a ética “de direita” se atiça mais com a criminalidade. Um lado lamenta as desigualdades sociais; outro se revolta contra os marajás ociosos vivendo à custa de favores oficiais. A forma da atuação no combate à injustiça também divide o espectro político, embora numa direção linearmente independente. O formalista exige a aplicação de procedimentos e leis previsíveis. O ativista coloca o objetivo acima do meio usado para alcançá—lo.

Nos extremos as posições se confundem. Evitar qualquer forma de injustiça social exige um governo autoritário que suprime a desigualdade; ou pior, que esquadrinha as diferenças para decidir quais são inaceitáveis. Para eliminar todas as desigualdades é necessário convocar os mais iguais do que os outros. Da mesma forma, o combate a toda espécie de crime ou parasitismo é impossível sem violar as liberdades individuais. Impedir todos os crimes é impossível sem opressão contra os honrados. Um governo extremista na busca da justiça caminha para a supressão da liberdade, em qualquer uma das direções.

Uma vez que pode ser chamado para decidir a respeito de si próprio, nenhum sistema legal é completo e coerente. Uma versão jurídica do famoso Teorema de Gödel, que vamos deixar para uma coluna futura. Seguir todas as regras rigidamente dá poder arbitrário para quem as interpreta. A aplicação formalista das leis, quando levada ao extremo, conduz à arbitrariedade, da mesma forma que o faz o princípio oposto de que os fins justificam os meios. Fazer sempre o que o popular considera correto torna a lei imprevisível, e a imprevisibilidade beneficia o déspota. Os extremos se encontram nos antípodas, na divisão por zero. E o arbítrio nada mais é que aquele mesmo ponto no infinito da esfera de Riemann, o qual vislumbramos quando levamos as visões ditas de direita e de esquerda ao paroxismo.

Felipe Pait é professor no Laboratório de Automação & Controle da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Estudou engenharia elétrica na USP e na Universidade Yale.